Einige Harmonika-Freunde trafen sich am 11. März 1956 im Gasthaus zur „Linde“. Sie hatten sich seit geraumer Zeit mit dem Gedanken befasst, die Harmonikamusik in einer Gemeinschaft zu pflegen. Es waren die Gedanken dieser Leute, auf kulturellem Gebiet etwas zu erschaffen. An diesem 11. März 1956 wurden diese Gedanken Wirklichkeit. So entstand die Gründung des Vereins, zwar noch ohne Namen, dafür aber mit einer kompletten Vereinsleitung, einschließlich des Dirigenten.
Man war sich von Beginn an darüber im Klaren, dass neben dem musikalischen Streben nach höherer Leistung auch die Geselligkeit einen wichtigen Platz einnehmen soll. So wurden aus den anfangs 6 aktiven und 27 passiven Gründungsmitgliedern in der 60-jährigen Geschichte des HHC eine große Vereinsfamilie.
Bereits im Gründungsjahr konnte unter der Leitung von Waldemar Spindler, die erste Herbstfeier im „Gasthaus zur Linde“ abgehalten werden. Dass sie heute noch einen festen Platz im Jahresprogramm hat, zeugt von echter Tradition.
Auch an ein erstes Wertungsspielen wagte man sich im ersten Gründungsjahr schon heran: Beim HHC Neckartailfingen wurde mit Plicht- und Wahlstück um Punkte gespielt. Dabei belegte das Orchester den dritten Platz. Im Solowettbewerb wurde Adolf Henzler Erster und Manfred Zeeb Vierter.
Im Jahr 1957 musizierte bei der Herbstfeier zum ersten Mal auch ein Jugendorchester. Ein Jahr später kam das Quintett dazu, das 1961 zum Sextett wurde und in dieser Besetzung bis 1969 regelmäßig auftrat.
Zum regelmäßigen Bestandteil des Jahresprogramms gehörten auch noch Weihnachts- und Frühjahrsfeiern sowie Tanzabende in der „Linde“. Auch der Faschingstanz trug schon zur Aufbesserung der Finanzen bei.
An den Herbstfeiern sorgte das Theaterspiel unter der Regie von Georg Riedmüller für willkommene Abwechslung und Unterhaltung.
Der „Tag der Harmonika“ 1959 in Stuttgart war die erste große überörtliche Veranstaltung, die besucht wurde. Sie wurde in der Hauptstufe mit einer Note „sehr gut“ belohnt.